Александр Леонтьевич Сущих

Павел Александрович Ануфриков

Данная статья является первой в цикле статей, посвящённых знакомству с новой разработкой АО «Топ Системы» ? приложением T ? FLEX Анализ. В первой статье приводится краткий обзор системы. В последующих статьях цикла будет подробно рассказано о специализированных модулях T - FLEX Анализ применительно к разным областям инженерных расчётов.

В процессе машиностроительного проектиро-вания часто возникает необходимость оценки наиболее значимых физико-механических свойств деталей и узлов или изделия в целом. Например, при проектировании необходимо оценить прочность деталей при заданных нагружениях или максимальные деформации корпуса изделия. В докомпьютерную эпоху единственным средством оценки физико-механических свойств изделий были оценочные расчеты с использованием приближенных аналитических или полуэмпирических методик. Точность подобных методик применительно к реальным объектам проектирования обычно невысока. Поэтому в конструкцию изделия закладываются значительные «коэффициенты запаса» (например, по прочности), снижающие риск принятия ошибочного проектного решения. В большинстве случаев подобный подход в проектировании остается наиболее распространенным и в настоящее время. Появление компьютерной техники и развитие вычислительной математики привели к серьезным изменениям традиционных подходов к инженерным расчетам. Начиная с середины 60-х годов 20-го века лидирующим методом численного решения самых разных физических задач является метод конечных элементов (МКЭ) . Особенностями МКЭ, обеспечившими ему ведущее положение в прикладной вычислительной математике, стали присущие методу:

Однако в начале 90-х годов ситуация стала быстро меняться. Развитие персональных компьютеров и начало их широкого использования в проектных целях привели к появлению и ускоренному развитию прикладных систем конечно-элементного анализа, которые не требуют от пользователя глубоких знаний теории МКЭ, исключают трудоёмкие операции ручной подготовки исходных данных и предоставляют прекрасные возможности по обработке результатов математического моделирования.

Рис. 1 Исходная конструкция и её конечно-элементная дискретизация

Суть метода конечных элементов можно кратко изложить на примере распространенных задач механики. Рассмотрим произвольную распределенную систему сложной геометрической формы, находящуюся под воздействием приложенных к ней сил (рис. 1). Эта конструкция представляется в виде совокупности конечного количества относительно простых объектов правильной геометрической формы (конечных элементов, КЭ). В качестве таких элементов могут выступать стержни, элементы пластин, многогранники (рис. 2).

Рис. 2 Примеры конечных элементов

Конечные элементы, аппроксимирующие исходную конструкцию, считаются связанными между собой в граничных точках ? узлах, в каждом из которых вводится несколько степеней свободы. Количество степеней свободы зависит от геометрической формы элемента и типа решаемой физической задачи. Например, для аппроксимации конструкций стержневыми элементами обычно вводится 6 степеней свободы в узле (рис. 3 а ), а при моделировании объёмными элементами - по 3 поступательных перемещения (рис. 3 б ). Действующие на конструкцию внешние нагрузки приводятся к эквивалентным силам (моментам), прикладываемым в узлах конечных элементов. Ограничения на перемещение конструкции (закрепления) также переносятся на конечные элементы, которыми моделируется исходный объект. Поскольку каждый КЭ имеет заранее определенную форму и известны его геометрические характеристики и характеристики материала, для каждого КЭ, которыми моделируется конструкция, можно записать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), определяющих смещение узлов КЭ под действием приложенных в эти узлы сил. Для задачи статического анализа конструкций, например, такая система уравнений в матричной форме записывается следующим образом:

K кэ ? X кэ = P кэ , (1)

где: K кэ – так называемая матрица жёсткости конечного элемента, порядок которой равен количеству степеней свободы в узле КЭ;

Х кэ – вектор неизвестных узловых перемещений конечного элемента;

P кэ – вектор сил, приложенных к узлам конечного элемента.

Записывая систему уравнений (1) для каждого конечного элемента, аппроксимирующего исходную физическую систему, рассматриваем их совместно и получаем аналогичную систему уравнений для полной конструкции:

K г ? X г = P г , (2)

где: K г – глобальная матрица жёсткости конструкции, порядок которой равен произведению количества подвижных узлов конструкции на число степеней свободы в одном узле;

Х г – глобальный вектор неизвестных узловых перемещений конструкции, подлежащий определению;

P г – глобальный вектор сил приложенных к узлам конечно-элементной дискретизации.

Рис. 3 Стержневой конечный элемент с шестью степенями свободы в узле (а)

и объёмный элемент параллелепипеда с тремя степенями свободы в каждом узле (б)

Формируя систему уравнений (2) и решая её, получаем значения перемещений в узлах конечно-элементной сетки, а также дополнительные физические величины, например, напряжения. Эти значения будут приближенными (с точки зрения теоретически возможного «точного» решения соответствующего дифференциального уравнения математической физики), но погрешность решения может быть очень небольшой – доли процента на тестовых задачах, имеющих «точное» аналитическое решение. Погрешность получаемого в результате конечно-элементной аппроксимации решения обычно гладко уменьшается с увеличением степени дискретизации моделируемой системы. Другими словами, чем большее количество КЭ участвует в дискретизации (или чем меньше относительные размеры КЭ), тем точнее получаемое решение. Естественно, что более плотное КЭ разбиение требует более значительных вычислительных затрат.

Описанный алгоритм конечно-элементного моделирования применим для решения и других задач, с которыми может столкнуться современный инженер – теплопроводности, электродинамики и т.п. Благодаря вышеперечисленным достоинствам МКЭ стал лидирующим методом компьютерного моделирования физических задач и, фактически, ассоциируется с целой отраслью современной индустрии программного обеспечения, известной под аббревиатурой CAE ( Computer Aided Engineering - системы инженерного анализа). Эти системы прочно заняли свое место в машиностроительном проектировании. Типичная схема использования этих инструментов в рамках концепции автоматизированного проектирования предусматривает создание электронной модели проектируемого изделия, адекватно отражающую требуемые конструктивные характеристики изделия (геометрические, механико-физические и т.п.), и являющуюся главным источником проектной информации об изделии. В последние годы в качестве такой модели выступают, как правило, трехмерные твердотельные и поверхностные геометрические модели проектируемых изделий или их двумерные аналоги.

Рассмотрим типичную схему построения современной CAE -системы на примере новой отечественной системы конечно-элементного анализа T - FLEX A нализ (АО «Топ Системы», www . topsystems . ru ). В современной коммерческой системе конечно-элементного анализа можно выделить четыре базовых части (рис. 4).

Рис. 4 Обобщенная структурная схема системы конечно-элементного анализа

В первую очередь для построения корректной конечно-элементной модели изделия требуется осуществить передачу исходной геометрии изделия в CAE -систему.

Возможны три варианта такой передачи:

•  построение модели изделия средствами моделирования встроенного геометрического редактора CAE -системы;

•  импорт геометрической модели из специализированной CAD -системы через нейтральные форматы обмена данными ( STEP , XMT , SAT , DXF и т.п.).

•  прямая интеграция CAE -системы и некоторой CAD -системы, то есть обмен геометрическими данными не через внешние универсальные обменные форматы, а через внутренние структуры данных напрямую из одного программного модуля в другой.

Рис. 5 Меню T-FLEX Анализ в окне T-FLEX CAD 3D

Преимущества такого интегрированного решения для пользователя очевидны:

•  отсутствуют затраты времени на повторный ввод информации об изделии в CAE -систему с помощью встроенного редактора;

•  отсутствуют возможные погрешности экспорта-импорта моделей через универсальные обменные форматы или погрешности повторного ручного ввода, так как модель передаётся максимально точно.

•  сохраняется ассоциативная связь расчётной математической модели и электронной объемной модели изделия за счёт прямой программной интеграции. То есть пользователь может изменить размеры анализируемого изделия, обновить КЭ модель, и сразу же получить актуальные результаты расчёта. При этом ему не понадобится повторно осуществлять ввод геометрии, экспорт-импорт, задание граничных условий и т.п. Очевидно, что это очень удобно для пользователя и позволяет в короткие сроки просчитать несколько вариантов и выбрать оптимальный.

Второй важной частью CAE -системы является подготовка расчётной конечно-элементной модели по имеющимся геометрическим данным, или так называемый препроцессор. Работу по подготовке расчётной КЭ модели можно разделить на две части:

•  построение адекватной конечно-элементной сетки, которая с требуемой точностью и надежностью будет аппроксимировать поведение моделируемого изделия;

•  задание граничных условий ? нагрузок, закреплений, температур, и т.п., определяющих анализируемую физическую задачу.

Построение конечно-элементной сетки возможно несколькими способами: вручную (обычно совмещается с вводом информации о геометрии изделия) и автоматически;

Рис. 6 Тетраэдальные конечные элементы, используемые в T-FLEX Анализ для моделирования объёмных тел:

а) линейный, четырёхузловой; б) квадратичный, десятиузловой

T - FLEX Анализ ориентирован на решение физических задач в объёмной постановке. Геометрию анализируемой детали в этом случае удобнее всего описывать тетраэдальным конечным элементом, поэтому препроцессор модуля T ? FLEX Анализ ориентирован на автоматическое построение тетраэдальных конечно-элементных сеток. Тетраэдальная сетка позволяет достаточно точно аппроксимировать сколь угодно сложную произвольную геометрию изделия, и поэтому часто используется для объёмного КЭ-анализа. Препроцессор T - FLEX Анализ позволяет строить сетки из тетраэдальных конечных элементов двух типов – четырехузловых тетраэдров, (рис. 6 а ) и десятиузловых тетраэдров (рис. 6 б ). Элементы первого типа обеспечивают линейную аппроксимацию искомой функции (например, перемещений или температуры) в пределах объёма КЭ. Элементы второго типа обеспечивают более высокий порядок аппроксимации – квадратичную аппроксимацию, и лучше аппроксимируют криволинейные границы. Пользователь T - FLEX Анализ может выбрать для быстрой качественной оценки расчёт линейным тетраэдальным КЭ, а для ответственного количественного анализа – расчёт квадратичным тетраэдром. Кроме того, препроцессор системы T - FLEX Анализ позволяет задавать самые различные опции по управлению параметрами КЭ-сетки (рис. 7): размеры КЭ, степень аппроксимации криволинейных границ, режимы оптимизации и т.п. Настройки генератора сеток позволяют создавать адаптивные тетраэдальные сетки с переменным шагом. Такие сетки имеют сгущения конечных элементов в местах модели со сложной геометрией (рис. 8), в которых можно ожидать концентрации напряжений.

Рис. 7 Диалоговое окно с параметрами конечно-элементной сетки T-FLEX Анализ

Рис. 8 Использование команды «Сетка» для построения тетраэдальной конечно-элементной модели изделия

Кроме построения конечно-элементной сетки, с помощью препроцессора задаются граничные условия, необходимые для решения физической задачи. В T - FLEX Анализ для этого предусмотрены специальные команды, позволяющие в интерактивном режиме задать внешние воздействия, прикладывая их непосредственно к элементам твердотельной модели. Препроцессор автоматически переносит граничные условия на конечно-элементную модель для выполнения расчёта (рис. 9).

Рис. 9 Конечно-элементная модель изделия с заданными граничными условиями

Третьим важнейшим элементом CAE -системы является модуль формирования систем линейных алгебраических уравнений и их последующего решения. Конечно-элементный процессор модуля T - FLEX Анализ обеспечивает решение наиболее востребованных пользователями физических задач механики: линейная статика, расчет собственных частот и форм колебаний, расчет критических нагрузок (устойчивость), а также решение задач термоупругости и теплопроводности.

Системы алгебраических уравнений решаются прямыми или итерационными методами. Основные настройки процессора выбираются в автоматическом режиме процессором или назначаются пользователем (рис. 10).

Рис. 10 Окно настроек процессора T - FLEX Анализ для статического анализа

Подробнее о функциональных возможностях конечно-элементного процессора T - FLEX Анализ будет рассказано в следующих статьях цикла, посвящённых отдельным типам решаемых задач (статический анализ, частотный, и др.).

Результатами работы конечно-элементного процессора T - FLEX Анализ являются значения искомых целевых функций, таких как: перемещения и напряжения при статическом анализе, (рис. 11) или собственные частоты и формы колебаний при частотном (рис. 12).

Рис. 11 Окна постпроцессора T-FLEX Анализ с результатами статического прочностного расчёта конструкции

Рис. 12 Окна постпроцессора T-FLEX Анализ с результатами расчёта собственных частот и форм колебаний воздушного винта

Для всестороннего анализа результатов работы процессора используется четвертая составная часть системы T - FLEX Анализ – постпроцессор. Также как и предыдущие модули, он глубоко интегрирован в T - FLEX CAD 3 D и предназначен для всестороннего изучения полученных результатов после завершения расчётов. Постпроцессор системы T ? FLEX Анализ обладает набором удобных пользовательских функций, таких как: анимация, отображение деформированного состояния, настраиваемые шкалы, многооконный интерфейс и др.

* * *

Таким образом, с появлением приложения T ? FLEX Анализ пользователям российского комплекса T - FLEX стал доступен удобный и эффективный инструмент конечно-элементного анализа, используя который можно ещё более повысить качество проектируемых изделий.